*近期粗心度max，可能会有错，还请指出；顺带吐槽一下这个公式系统，动不动就编辑到其他地方去了orz有时候还打不出来

0. 前言

在看陶哲轩《实分析》第三版的时候，我发现Riemann-Stieltjes积分（下面统称为R-S积分）这一章节的内容有漏洞，具体是什么这里也不多说了。然后我转战知乎，在知乎上搜索R-S积分的内容时，发现居然有人找到了不同资料上的R-S可积的三个定义？？？

当时我的心情是很复杂的（省个流就是崩溃）

【资料图】

不过根据那人所说，总结下来最强的定义（这里）是和Riemann可积类似的定义：

定义0.1

记

其中称为的一个分法

称在上关于是R-S可积的，当且仅当存在实数，使得对于任意的正实数，存在正实数，满足只要能够使，无论以及其中的如何取，都有

其中（或者写为）称之为在上关于的R-S积分

那我就信了这个邪吧......（不过维基百科上也是这么写的，就默认对咯）

全网搜以这个定义为判别方式的R-S可积的内容，发现资料少之又少，好不容易找到一个看起来很全的，结果内容不够好......

不是我说，那个讲义是真的敷衍，b站搜“Riemann-Stieltjes积分”应该搜得到，一个台湾大学用的貌似是。主要是里面有错的，很尴尬......

总而言之，既然没人补这个大坑，那我就来补全一下（此篇中，若在上关于是R-S可积的，则称在上；同时，）

（积分值的唯一性是显然的，这里不再多提）

1. 积分算律

类似于Riemann积分，R-S积分也有一套运算规律：

定理1.1

（1）不妨，因为“常数乘上R-S可积的函数是R-S可积的”这一结论是显然的

根据R-S可积的定义，我们知道对于任意，只要当分法的值足够小的时候，就有：

由此得证

（2）类似于（1），也可以轻松得证

（3）*更正：

对这一命题，只证明是存在的（另外一个类似可以得证，而这个等式可以采用与证明积分值唯一的方法来证明，也就是证明可以让两个值的距离任意小，当然必须为正）

采取反证法，假设不可积，那么对于任意实数，总存在，满足无论多小，总有某个选取方法使得

令

这里以及的选取满足上述式，且此时的足够小使得恒成立

矛盾！因此得证

*注意：（3）的逆命题不一定成立！！但是如果在处连续，且有界的话，那就可以证明逆过来也是成立的

除了运算规律，在特殊情况下，也会成立比较法则：

定理1.2

我们会发现，这些性质和Riemann积分的性质非常相似。在下一部分，我们就会来讲述一下他们所得值之间的关系，让我们一起往下看。

2. 特定条件下积分值与Riemann积分的关系

既然Riemann-Stieltjes作为一种比Riemann积分更广义的积分形式，那么它和Riemann积分之间有没有什么不可告人的关系呢？那显然应该多少沾点边。或者说，Riemann积分事实上就是当时的情况。那一般意义下的关系呢？让我们接下去看一个命题，来揭示他们之间的关系：

定理2.1

若有界且，如果下列条件之一成立：

（1）在上具有连续导数；（2）在上可微且单调增，同时其导函数在此区间上Riemann可积

那么就有：

（1）这个条件是非常良好的，证明起来也很容易，只需要利用“闭区间上的连续函数一致连续”，“Lagrange中值定理”和“三角不等式”就可以解决，这里不多提了，有兴趣的朋友可以根据这些提示自己证明

（2）这个条件是很离谱，说松不松说紧不紧的，不过证明起来更加离谱，一不小心就写了两页半练习本的证明......

这里先不加证明的给出如下引理（第3部分内容）：

如果是单调增的，那么对于任意的不与在同一点间断的阶梯函数，有，且，其中。同时下面两个命题逻辑上等价：

（a）

（b）

因此很容易得到在此题中，当是阶梯函数，原命题是成立的（提示：乘积保持Riemann可积性；使用Lagrange中值定理证明两个积分值的距离是可以任意小的，当然必须是正的）

那么如果它不是阶梯函数会发生什么呢？

假设不存在，也就可以推出有

其中为阶梯函数

注意到，利用引理，我们可以取两个阶梯函数，满足如下条件：

假设为常数

取满足：

那么

矛盾！因此存在，而积分值相等的部分的证明和阶梯函数的情况是一样的，即用Lagrange中值定理证明两个积分值的距离可以小于任意正实数

回想Riemann积分的换元法则，是不是和定理2.1很相像？事实上，考虑如下定理，他们就是一回事了（如果单调减的话，也有类似的命题，大家可以自己探索）：

*更正：无需严格单调增，单调增即可

证明略【狗头保命】

那现在还遗留有一个问题：定理2.1中的引理如何证明？一起接着往后看吧~

3. 当单调增时对有界函数的等价定义方式

也许大部分人都知道Riemann可积可以用两种方式定义：Riemann和有极限；Darboux和相等。事实上，如果看过陶哲轩的《实分析》，或是做过一些题（比如2022交大致远数学分析1期末）的话，应该也会熟悉另外一种定义（其实和Darboux和有异曲同工的感觉）：

那么类似于这样的定义方式，我们可以给出一定条件下对R-S可积的一个猜测（事实上，很多讲义或者资料中都会以类似于Darboux和而非Riemann-Stieltjes和的形式来定义这样一种狭隘情况下的R-S可积）：

定理3.1

如果是单调增的，那么对于任意的不与在同一点间断的阶梯函数，有，且，其中。同时下面两个命题逻辑上等价：

（a）

（b）

接下来我们一步步去细说、解释这个命题的合理性

（前篇到此为止，因为只能插入一百个公式......）